MANŒUVRES ORBITALES

	CONTENU : Mis à jour 15 novembre 2000, revu sept 2011 I Généralités : Données | Figure Relations et formules générales II Exemples de manoeuvres Transfert de type Hohmann Correction d'apogée ou de périgée Correction de phasage Correction d'inclinaison Réorientation du grand axe

I GENERALITES :

Ce chapitre est destiné à l'étude générale des manœuvres en orbite soit :

 IMPORTANTES, DEMANDANT UN INCREMENT DE VITESSE ELEVE :

Manœuvre d'apogée pour passer d'une orbite GTO à une orbite géostationnaire

Correction d'inclinaison orbitale

Changement de programme d'une sonde spatiale, par exemple déroutement vers une comète nouvelle

Manœuvre de déorbitation pour un retour sur terre, à partir d'une station orbitale

Injection sur une orbite d'évasion hyperbolique préparant un voyage interplanétaire.

 IMPULSIONNELLES, DE MAINTENANCE D'UN SATELLITE EN ORBITE

Corrections minimes de paramètres orbitaux

Recalage de temps orbital

Ajustement d'une heure d'arrivée sur une planète

La réalité physique d'une manœuvre impose une certaine durée et donc un déplacement pendant la manœuvre. Sans approximation, il est impossible "à la main" de calculer les détails de l'opération. L'expérience montre, qu'avec une excellente approximation, on peut considérer que les positions en début et en fin de manœuvre, peuvent être considérées comme identiques.

On conviendra que LE SATELLITE REPASSE TOUJOURS PAR LE POINT DE LA MANOEUVRE

1°) DONNEES :

Afin de bien poser le problème, il faut fixer le cadre de l'étude.

L'orbite initiale C₁, est connue par ses paramètres orbitaux a₁, e₁, i₁, w₁, W₁, t_P1

L'orbite après correction C₂, est connue par ses paramètres orbitaux a₂, e₂, i₂, w₂, W₂, t_P2

La position de la manœuvre est choisie, après étude précise.

2°) FIGURE DE LA MANŒUVRE :

Le dessin ci-dessous illustre la configuration.

3°) CALCUL DES ELEMENTS DE LA MANOEUVRE :

La connaissance des paramètres orbitaux et de la position commune aux deux ellipses permet le calcul des vecteurs vitesses V₁ et V₂, par les relations ci-après, adaptées naturellement à chaque orbite C1 ou C2

Les composantes des vecteurs P et Q étant accessibles, par des relations déjà vues.

On obtient alors les composantes des vecteurs V1 et V2 dans le repère inertiel.

Le calcul s'achève alors par celui de l'incrément de vitesse DV nécessaire, caractérisé par sa norme, qui en pratique doit être la plus petite possible et une direction, celle que la poussée du moteur devra adopter dans l'espace.

Le schéma ci-dessous donne DV.

CAS PARTICULIER COURANT :Pour des trajectoires coplanaires, les calculs ne nécessitent pas le passage par les composantes inertielles.

La norme d'une vitesse se calcule par l'énergie

On obtient ainsi V1 et V2 au point commun. La pente g apparaît dans la loi des aires

a suivant les cas vaut:

Le calcul s'achève alors classiquement en résolvant le triangle des vitesses, ce qui fournit la norme de l'incrément DV de vitesse et éventuellement l'orientation de l'axe de la poussée.

II EXEMPLES DE MANOEUVRES:

Nous ne pouvons passer en revue toutes les manœuvres, mais en indiquons de classiques.

1°) TRANSFERT DE HOHMANN :

Le problème se pose souvent, soit pour des orbites terrestres, soit pour des trajectoires héliocentriques avec les missions interplanétaires: COMMENT TRANSFERER UN ENGIN INITIALEMENT SUR UNE ORBITE CIRCULAIRE BASSE ( HAUTE ) SUR UNE ORBITE CIRCULAIRE HAUTE ( BASSE ), COPLANAIRE A LA PRECEDENTE ?

Hohmann a répondu à la question, en indiquant que la manœuvre la plus économique ( lorsque le rapport K du grand rayon au petit rayon est inférieur à 15.58 ):

 Utilisait une orbite de transfert elliptique, dite de Hohmann, bitangente aux deux orbites de départ et d'arrivée.

 Nécessitait deux incréments de vitesse DV₁ et DV₂, à délivrer au périgée et à l'apogée de ce transfert.

La figure suivante illustre la procédure, qui nécessite deux moteurs et deux allumages. C'est ce qui fait la différence entre un vol Ariane, où la manœuvre de périgée disparaît, réalisée dans la phase propulsée par l'étage 3, et une mise en orbite par la navette américaine, avec une orbite d'attente circulaire basse qui demande la double motorisation.

 NB 1 : Ce type de transfert est encore couramment utilisé lors de tirs interplanétaires, où l'orbite de départ est celle de la terre, et celle d'arrivée sensiblement l'orbite quasi circulaire décrite par la planète cible.

NB 2 : Pour un rapport K des rayons supérieur à 15.58, c'est une manœuvre à 3 impulsions qui est la plus économique.

2°) CORRECTION D'APOGEE (PERIGEE) :

 Un tir présente toujours des dispersions et des ajustements minimes d'orbite sont nécessaires. Nous nous plaçons dans cette hypothèse d'une manœuvre quasi impulsionnelle de faible incrément DV. On ne souhaite pas modifier la position du périgée, donc la manœuvre a lieu en ce point. Comme a = r_p + r_a , et r_P constant, nous avons Dr_a = 2D_a, l'équation de l'énergie fournit :

On notera qu'une manœuvre du même type réalisée à l'apogée, permet de rectifier le périgée moyennant la relation :

On peut également vérifier que pour une même modification de a ou d'une altitude apogée ou périgée, le coût est minimal avec une manœuvre au périgée.

3°) CORRECTION DU PHASAGE :

Là encore on supposera que l'erreur de date ( écart de phasage ), est petite, nous permettant de travailler en calcul différentiel. L'idée est d'utiliser une orbite de dérive voisine de l'orbite initiale, parcourue n fois ( n à choisir en fonction de critères économiques ), telle que les n décalages de période compensent l'écart Dt initial.

La correction totale demande un retour à l'orbite initiale, donc avec deux incréments de vitesse opposés, ainsi le coût total est en s'appuyant sur des différentielles de relations simples comme :

Ce type de correction couplé est classique pour ramener un géostationnaire dans sa fenêtre de positionnement, puisqu'un décalage en longitude équivaut à un décalage horaire.

3°) CORRECTION D'INCLINAISON :

C'est certainement la correction qui donne le plus de soucis, dans la maintenance d'un satellite. La lune et le soleil, en particulier, provoquent une dérive nord-sud du plan orbital, avec variation annuelle de l'ordre de 1° /an. Corriger l'inclinaison est équivalent à faire tourner un vecteur vitesse, en pratique sans variation de norme.

REMARQUE : On comprend alors facilement que, pour un satellite en orbite basse terrestre, où la vitesse avoisine 8 km/s, une correction de 1° coûte environ 140 m/s.

Pire dans les trajectoires héliocentriques, on peut avoir des vitesse de 20 à 30 km/s sinon plus. Ainsi pour V=30 km/s une correction d'inclinaison orbitale coûterait 523 m/s.

Supposons donc que l'on veuille uniquement corriger l'inclinaison orbitale sans changement des autres paramètres orbitaux.

 La correction doit obligatoirement être réalisée à un des nœuds de l'orbite.

 Le vecteur vitesse doit tourner, sans changer de norme afin de ne pas altérer le demi grand axe. Il faut donc choisir le nœud le plus élevé en altitude ce qui minimise la vitesse et garde l'énergie spécifique E constante..

 Autre conséquence de la rotation, qui ne peut se faire qu'en conservant l'excentricité, la constante des aires K doit rester invariante :

Donc la vitesse orthoradiale se conserve, valant Vcosg .

 La correction nécessite donc:

Cas d'une poussée étalée :

Observons plus en détail la manœuvre réelle qui corrige périodiquement l'inclinaison orbitale, d'une quantité Di petite, lors du survol d'un nœud. Nous savons que cette correction coûte cher et demandent l'utilisation d'un moteur gaz chauds, sur un temps non négligeable.

Il y a donc étalement de la manœuvre le long de l'orbite, sur une durée T. Quelle en est la conséquence sur le DV?

La réponse est donnée par le rendement :

VOIR DEMONSTRATION DANS UN AUTRE COURS.

4°) REORIENTATION DU GRAND AXE :

Ce cas correspond à une correction de w argument nodal du périgée, sans modification des autres paramètres orbitaux.

On souhaite faire pivoter le grand axe d'une orbite C1, d'un angle orienté a, pour l'amener dans une configuration 2, et ceci sans modification de la forme de l'ellipse.

S est le point commun aux deux orbites, donc le point de manœuvre. La géométrie impose que la droite OS est axe de symétrie des deux C1 et C2.

 Le demi grand axe étant inchangé, E est inchangée et donc la norme V de la vitesse est la même.

 L'excentricité demeurant inchangée, la constante des aires reste la même. Donc la vitesse orthordiale Vcosg est inchangée. Force est donc de conclure que la vitesse radiale est algébriquement la même et que seule la pente est inversée.

 Ainsi nous obtenons ci-dessous la position angulaire q du point de manœuvre S sur l'orbite C1 et la valeur DV de la manœuvre en fonction de a.

Guiziou Robert novembre2000, sept 2011